Revue française de métrologie
n° 31, Vol. 2012-3, 21-39, DOI : 10.1051/rfm/2012010
Estimer la droite d’étalonnage avec les moindres carrés généralisés et évaluer le résultat de mesure
Estimating the straight-line calibration function with generalized least squares and evaluating the measurement result
Catherine YARDIN
Laboratoire national de métrologie et d’essais (LNE), 1 rue Gaston Boissier, 75724 Paris Cedex 15, France, catherine.yardin@lne.fr
Résumé : La méthode des moindres carrés généralisés (GLS) estime la droite d’étalonnage en tenant compte de l’incertitude associée aux variables, de l’hétéroscédasticité et des corrélations. Mais l’efficacité des GLS requiert une bonne connaissance de la méthode elle-même et du processus d’étalonnage. Cet article précise les caractéristiques de la fonction d’étalonnage et introduit le « modèle à erreurs sur les variables » plus représentatif du contexte. La méthode GLS est présentée selon différents scénarios d’incertitude en considérant les trois phases de l’estimation : modélisation, évaluation et validation. La propagation de l’incertitude des variables aux coefficients de la droite est discutée. Puis, le résultat de mesure est calculé avec la droite estimée, en mode direct et en mode inverse. Son incertitude est donnée en distinguant la valeur vraie ou moyenne sans incertitude et une valeur mesurée ou individuelle avec incertitude. Deux exemples sont analysés. Les incertitudes des variables influencent peu la valeur des coefficients de la droite et du résultat. En revanche, les incertitudes associées sont très affectées.
Abstract: The Generalized Least Squares (GLS) method estimates the straight-line calibration function by taking into account uncertainties in variables, heteroscedasticity and correlations. However, the efficiency of the method depends on a good knowledge of the method itself and of the calibration process. This paper details the characteristics of the calibration function and introduces the “model with errors in variables” which is more representative of the context. The GLS method is analysed in the three steps of the estimation process: assumption, computation and validation. Propagation of the uncertainty in input data to coefficients of the straight-line calibration function is also discussed. The measurement result is then computed with the estimated curve, directly and by inverse evaluation. The associated uncertainty is given by distinguishing the mean value without uncertainty and an individual value with its associated uncertainty. Two examples are analysed. Uncertainties in variables have little influence on the value of the measurement result and of coefficients of the straight-line calibration function. On the contrary, associated uncertainties are highly affected by them.
Mots clés : moindres carrés généralisés, modèle à erreurs sur les variables, droite d’étalonnage, droite avec incertitude sur les deux variables.
Key words: generalised least squares, measurement errors model, calibration curve, straight-line with uncertainty on variables.
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